Guía de Geometría Analítica para Recuperaciones

La Circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.

La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio. Observa la figura.

AB = r (constante)

Ecuación de la Circunferencia

(x – h)² + (y – k)² = r²

Esta expresión es de una circunferencia que tiene su centro, cuyas coordenadas son (h, k).

Pongamos un ejemplo:

Hallar en cada caso la ecuación de la circunferencia.

1. El centro C(4, 5), el radio r = 3

Aplicando la ecuación de la circunferencia se tiene que h = 4, k = 5 y r = 3 entonces:

(x – 4)² + (y – 5)² = 3²

^{Desarrollando los cuadrados}

x² - 8x + 16 + y² – 10y + 25 = 9

Ordenando los términos al cuadrado y simplificando los términos independientes se tiene e igualando a cero.

x²+ y²- 8x – 10y + 32 = 0

ecuación de la circunferencia (Forma General)

Podemos observar que:

A=C=1, B=0, D=- 8, E=- 10, F=32

2. El centro C(-2, -4), el radio r = 3

Por la expresión general de la circunferencia se tiene.

(x + 2)² + (y + 4)² = 3²

Desarrollando los cuadrados.

x² + 4x + 4 + y² + 8y + 16 = 9

x²+ y²+ 4x + 8y + 11 = 0

Forma General

Otro ejemplo más.

3. El centro C(2/3, -3/4), el radio r = 5

Aplicando la expresión se tiene.

(x – 2/3)² + (y + 3/4)² = 5²

Desarrollando resulta:

x² – 4/3x + 4/9 + y² – 3/2y + 9/16 = 5

Encontremos el común denomidor para quitar los denominadores.

m.c.m. (3, 9, 2 y 16) = 144

Multiplicando la ecuación por 144 y ordenando, obtenemos:

144x² + 144y² – 192x + 216y – 575 = 0

Forma General.

Circunferencia con Centro en el Origen.

Siendo C(0, 0) el centro y P(x, y) un punto cualquiera. La Circunferencia con centro en el origen tiene una representación grafica como la que se muestra en la figura.

Ahora como h = 0 y k = 0, entonces la ecuación queda como:

(x – 0)² + (y + 0)² = r²

que equivale a:

x ² + y² = r²

o bien

x ² + y² - r² = 0

Ejemplo: Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 5 unidades.

Aplicando la ecuación de la circunferencia con centro en el origen se tiene:

x ² + y² = 25

o bien

x ² + y² - 25 = 0